แหล่งเรียนรู้วิชาการสำหรับนักเรียน
ถ้าไม่มีเครื่องคำนวณจะหาารากที่สองได้อย่างไรปกติการหารากที่สอง ถ้าค่าของรากที่ได้ไม่ลงตัวเป็นจำนวนเต็มคือมีค่าเป็นทศนิยม เช่น sqrt(3)= 1.732, sqrt(5)=2.236.. หรือแม้ค่ารากจะเป็นจำนวนเต็มแต่ถ้าตัวเลขที่จะหารากเป็นเลขหลายหลักและไม่คุ้นกับตัวเลขนั้น เช่น sqrt(24649)=157 ก็จะคาดเดาได้ยาก จึงมักใช้เครื่องคิดเลข หรือโปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณหา แต่เราสามารถคำนวณหาค่าของรากด้วยมือได้เช่นเดียวกันให้มีความถูกต้องแม่นยำเท่าใดก็ได้ ทั้งนี้โดยอาศัยหลักพีชคณิต โดยเริ่มพิจารณาจาก กรณีเลข สองหลัก เช่น 54 = 10x5+4 =10a + b54^2= (10x5)^2 + 2(10x5)4 +4^2= (10x5)^2 +( 2(10x5) +4)4(10a+b)^2 = (10a)^2 +( 2(10a)+b)b จึงกลายเป็นรูปแบบวิธีการคำนวณหารากด้วยมือ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ โดยแบ่งตัวเลขที่ละสองหลักโดยมีจุดทศนิยมเป็นจุดตั้งต้น แบ่งไปทางซ้ายและขวาของจุดทศนิยม แล้วตั้งหาร เช่น 24649 แบ่งเป็น 2 46 49 _1__5__ _7 1 )2 46 49 1^2 1_____ 2 5 )1 46 2x(10x1) +5 1 25 ------- 3 0 7) 21 49 2x(10)+ 2x5=30--> 10x(30)+7 21 49 =====ทำนองเดียวกันถ้าหา sqrt(5) ก็แบ่ง 5 เป็น 5. 00, 00, 00 แล้วคำนวณหาในทำนองเดียวกัน ได้ 2. 2 3 6 ________ 2 ) 5. 00 00 00 4 ______ 4 2 ) 1 00 84 ________ 4 4 3 ) 16 00 13 29 ______ 4 4 6 6 ) 2 71 00 2 67 96 _______ 3 04เนื่องจากการแสดงสัญญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ใน blog ไม่สะดวก จึงเว้นรายละเอียดไปมาก ถ้าไม่เข้าใจ สามารถอ่านรายละเอียดเพิ่มเติมได้จากMathebook version 2.5 หน้า 108 ebook นี้สามารถ download ได้ฟรีจาก math.kanuay.comจากผมบุญช่วย ภัทรเลิศศิริประธานเครือข่ายผู้ปกครองระัดับชั้น ม5มีปัญหาคณิตปรึกษาได้ฟรีครับ เป็นบริการส่งเสริมทางวิชาการจากเครือข่ายผู้ปกครองฯ โพสต์โจทย์ถามได้ครับ081-306-5635boonchuaypster@gmail.comhttp://www.facebook.com/profile.php?id=100003271368686ิ
ตำแหน่งเลขหลักต่างๆ ผิดไปหมด ไม่เหมือนตอนพิมพ์ ทำให้อ่านได้ยาก เอามาแก้ไขใหม่ก็ไม่ได้ต้องพิมพ์ใหม่หมด บุญช่วย
ข้อสังเกตเกี่ยวกับรากของสมการพหุนาม (polynomial) ที่มีสัมประสิทธิืเป็นจำนวนจริง-รากที่เป็นอตรรกะ คือติด sqrt จะมีเป็นคู่เสมอ เช่นถ้ามี รากหนึ่งเป็น 2+sqrt(3) ก็ต้องมีอีกรากหนึ่งเป็น 2-sqrt(3) เสมอ-และสำหรับรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน(ระดับม.5 เลขเพิ่มเติม) ก็จะมีเป็นคู่เหมือนกัน คือรากตัวหนึ่งจะเป็น conjugate ของอีกตัวหนึ่ง เสมอ คือส่วนจินตภาพจะมีเครื่องหมายต่างกัน เช่น2 + 3i, 2-3i เป็นต้น-การสังเกตหรือเดาหาค่ารากของ พหุนาม ถ้าดูเหมือนการแทนค่าด้วยตัวเลขง่ายๆเช่น 1 หรือ -1 แล้วน่าจะได้ค่าพหุนามเป็น 0 แต่ไม่ได้ ให้ลองแทนด้วยค่ารากเป็นจำนวนจินตภาพ เช่น i, หรือ -i แล้วทำให้เครื่องหมาย ของแต่ละจำนวนย่อยเป็นไปในลักษณะที่ผลรวมหักล้างกันเป็น 0 ได้-เมื่อกำหนดค่าของรากบางตัวมาให้ หรือการสมมุติหาค่ารากที่เป็นจำนวนง่ายๆ แทนที่จะลองแทนค่า รากนั้นลงในพหุนามโดยตรง ให้ใช้การหารสังเคราะห์แทน เพราะทำได้ง่ายกว่าเร็วกว่า แถมเป็นการแยกแฟกเตอร์ไปในตัว-ผลรวมของรากของพหุนาม จะเท่ากับ ค่าสัมประสิทธิของ กำลังตัวแปรที่ต่ำกว่าสูงสุดลงมาหนึ่งทีกลับเครื่องหมายแล้ว เช่นx^5 + 8x^4+.... ผลบวกของรากจะเท่ากับ -8และถ้า สัมประสิทธิ์ของตัวแปรยกำลังต่ำกว่าสูงสุดมาหนึึ่่ง เป็น 0 ก็หมายความว่าผลบวกของรากเท่ากับ 0เช่น x^5 +7x^3+..... จะมีผลบวกของรากเท่ากับ 0 เป็นต้น-รากของสมการพหุนามมีโอกาสซ้ำกันได้ เช่น มี 1,1,... เป็นต้น ดังเช่น ข้อสอบกลางภาคคณิตเพิ่มเติมม.5 ข้อ 18 แต่แสดงข้อให้เลือกรากของ สมการกำลัง 5 เป็นสี่ราก คือรวม ราก ซ้ำ 1,1 เป็นรากเดียว อาจทำให้นักเรียนบางคนงง เพราะผลบวกของราก ไม่เท่ากับ 2 ถ้าไม่คิดค่าซ้ำของราก = 1 ซึ่งถ้ามีเวลาหารสังเคราะห์ออกมา ซึ่งก็ทำได้โดยง่าย ก็จะเลือกคำตอบเป็น ข้อ 4บุญช่วย ภัทรเลิศศิริประธานเครือข่ายผู้ปกครองฯชั้น ม5
ในอนาคตคงต้องปรับปรุงให้ blog นี้สามารถ upload เพื่อแสดงภาพได้ หรือไม่ก็ให้format ข้อความได้ เพราะตอนนี้ spacebar จะหายหมด ทำให้ไม่เหมาะในการแสดงบทความทางคณิตศาสตร์บุญช่วย ภัทรเลิศศิริ
มีคำถามโพสต์ที่นี้ก็ได้ครับ หรือผ่าน boonchuaypster@gmail.com ก็ได้
ต้องการเฉลยข้อสอบ สงสัยอะไรถามได้ที่กลุ่มเปิดต่อไปนี้ม ปลายhttps://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/https://www.facebook.com/groups/HighSchoolEnglish/https://www.facebook.com/groups/HighSchoolPhysics/https://www.facebook.com/groups/HighSchoolChemistry/มีเพิ่มกลุ่มคณิตและกลุ่มอื่นสำหรับมัธยมต้นด้วยครับhttps://www.facebook.com/groups/JHighSchoolMath/https://www.facebook.com/groups/JHighSchoolPhysics/https://www.facebook.com/groups/JHighSchoolChemistry/https://www.facebook.com/groups/JHighSchoolBiologyhttps://www.facebook.com/groups/JHighSchoolEnglish
ถ้าไม่มีเครื่องคำนวณจะหาารากที่สองได้อย่างไร
ReplyDeleteปกติการหารากที่สอง ถ้าค่าของรากที่ได้ไม่ลงตัวเป็นจำนวนเต็มคือมีค่าเป็นทศนิยม เช่น sqrt(3)= 1.732, sqrt(5)=2.236.. หรือแม้ค่ารากจะเป็นจำนวนเต็มแต่ถ้าตัวเลขที่จะหารากเป็นเลขหลายหลักและไม่คุ้นกับตัวเลขนั้น เช่น sqrt(24649)=157 ก็จะคาดเดาได้ยาก จึงมักใช้เครื่องคิดเลข หรือโปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณหา แต่เราสามารถคำนวณหาค่าของรากด้วยมือได้เช่นเดียวกันให้มีความถูกต้องแม่นยำเท่าใดก็ได้
ทั้งนี้โดยอาศัยหลักพีชคณิต โดยเริ่มพิจารณาจาก กรณีเลข สองหลัก เช่น
54 = 10x5+4 =10a + b
54^2= (10x5)^2 + 2(10x5)4 +4^2= (10x5)^2 +( 2(10x5) +4)4
(10a+b)^2 = (10a)^2 +( 2(10a)+b)b
จึงกลายเป็นรูปแบบวิธีการคำนวณหารากด้วยมือ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ โดยแบ่งตัวเลขที่ละสองหลักโดยมีจุดทศนิยมเป็นจุดตั้งต้น แบ่งไปทางซ้ายและขวาของจุดทศนิยม แล้วตั้งหาร เช่น 24649 แบ่งเป็น 2 46 49
_1__5__ _7
1 )2 46 49 1^2
1_____
2 5 )1 46 2x(10x1) +5
1 25
-------
3 0 7) 21 49 2x(10)+ 2x5=30--> 10x(30)+7
21 49
=====
ทำนองเดียวกัน
ถ้าหา sqrt(5) ก็แบ่ง 5 เป็น 5. 00, 00, 00 แล้วคำนวณหาในทำนองเดียวกัน ได้
2. 2 3 6
________
2 ) 5. 00 00 00
4
______
4 2 ) 1 00
84
________
4 4 3 ) 16 00
13 29
______
4 4 6 6 ) 2 71 00
2 67 96
_______
3 04
เนื่องจากการแสดงสัญญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ใน blog ไม่สะดวก จึงเว้นรายละเอียดไปมาก ถ้าไม่เข้าใจ สามารถอ่านรายละเอียดเพิ่มเติมได้จาก
Mathebook version 2.5 หน้า 108 ebook นี้สามารถ download ได้ฟรีจาก math.kanuay.com
จากผม
บุญช่วย ภัทรเลิศศิริ
ประธานเครือข่ายผู้ปกครองระัดับชั้น ม5
มีปัญหาคณิตปรึกษาได้ฟรีครับ เป็นบริการส่งเสริมทางวิชาการจากเครือข่ายผู้ปกครองฯ โพสต์โจทย์ถามได้ครับ
081-306-5635
boonchuaypster@gmail.com
http://www.facebook.com/profile.php?id=100003271368686
ิ
ตำแหน่งเลขหลักต่างๆ ผิดไปหมด ไม่เหมือนตอนพิมพ์ ทำให้อ่านได้ยาก เอามาแก้ไขใหม่ก็ไม่ได้ต้องพิมพ์ใหม่หมด
ReplyDeleteบุญช่วย
ข้อสังเกตเกี่ยวกับรากของสมการพหุนาม (polynomial) ที่มีสัมประสิทธิืเป็นจำนวนจริง
ReplyDelete-รากที่เป็นอตรรกะ คือติด sqrt จะมีเป็นคู่เสมอ เช่นถ้ามี รากหนึ่งเป็น 2+sqrt(3) ก็ต้องมีอีกรากหนึ่งเป็น 2-sqrt(3) เสมอ
-และสำหรับรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน(ระดับม.5 เลขเพิ่มเติม) ก็จะมีเป็นคู่เหมือนกัน คือรากตัวหนึ่งจะเป็น conjugate ของอีกตัวหนึ่ง เสมอ คือส่วนจินตภาพจะมีเครื่องหมายต่างกัน เช่น
2 + 3i, 2-3i เป็นต้น
-การสังเกตหรือเดาหาค่ารากของ พหุนาม ถ้าดูเหมือนการแทนค่าด้วยตัวเลขง่ายๆเช่น 1 หรือ -1 แล้วน่าจะได้ค่าพหุนามเป็น 0 แต่ไม่ได้ ให้ลองแทนด้วยค่ารากเป็นจำนวนจินตภาพ เช่น i, หรือ -i แล้วทำให้เครื่องหมาย ของแต่ละจำนวนย่อยเป็นไปในลักษณะที่ผลรวมหักล้างกันเป็น 0 ได้
-เมื่อกำหนดค่าของรากบางตัวมาให้ หรือการสมมุติหาค่ารากที่เป็นจำนวนง่ายๆ แทนที่จะลองแทนค่า รากนั้นลงในพหุนามโดยตรง ให้ใช้การหารสังเคราะห์แทน เพราะทำได้ง่ายกว่าเร็วกว่า แถมเป็นการแยกแฟกเตอร์ไปในตัว
-ผลรวมของรากของพหุนาม จะเท่ากับ ค่าสัมประสิทธิของ กำลังตัวแปรที่ต่ำกว่าสูงสุดลงมาหนึ่งทีกลับเครื่องหมายแล้ว เช่น
x^5 + 8x^4+.... ผลบวกของรากจะเท่ากับ -8
และถ้า สัมประสิทธิ์ของตัวแปรยกำลังต่ำกว่าสูงสุดมาหนึึ่่ง เป็น 0 ก็หมายความว่าผลบวกของรากเท่ากับ 0
เช่น x^5 +7x^3+..... จะมีผลบวกของรากเท่ากับ 0 เป็นต้น
-รากของสมการพหุนามมีโอกาสซ้ำกันได้ เช่น มี 1,1,... เป็นต้น ดังเช่น ข้อสอบกลางภาคคณิตเพิ่มเติมม.5 ข้อ 18 แต่แสดงข้อให้เลือกรากของ สมการกำลัง 5 เป็นสี่ราก คือรวม ราก ซ้ำ 1,1 เป็นรากเดียว อาจทำให้นักเรียนบางคนงง เพราะผลบวกของราก ไม่เท่ากับ 2 ถ้าไม่คิดค่าซ้ำของราก = 1 ซึ่งถ้ามีเวลาหารสังเคราะห์ออกมา ซึ่งก็ทำได้โดยง่าย ก็จะเลือกคำตอบเป็น ข้อ 4
บุญช่วย ภัทรเลิศศิริ
ประธานเครือข่ายผู้ปกครองฯชั้น ม5
ในอนาคตคงต้องปรับปรุงให้ blog นี้สามารถ upload เพื่อแสดงภาพได้ หรือไม่ก็ให้format ข้อความได้ เพราะตอนนี้ spacebar จะหายหมด ทำให้ไม่เหมาะในการแสดงบทความทางคณิตศาสตร์
ReplyDeleteบุญช่วย ภัทรเลิศศิริ
มีคำถามโพสต์ที่นี้ก็ได้ครับ หรือผ่าน boonchuaypster@gmail.com ก็ได้
ReplyDeleteต้องการเฉลยข้อสอบ สงสัยอะไรถามได้ที่กลุ่มเปิดต่อไปนี้
ReplyDeleteม ปลาย
https://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/
https://www.facebook.com/groups/HighSchoolEnglish/
https://www.facebook.com/groups/HighSchoolPhysics/
https://www.facebook.com/groups/HighSchoolChemistry/
มีเพิ่มกลุ่มคณิตและกลุ่มอื่นสำหรับมัธยมต้นด้วยครับ
https://www.facebook.com/groups/JHighSchoolMath/
https://www.facebook.com/groups/JHighSchoolPhysics/
https://www.facebook.com/groups/JHighSchoolChemistry/
https://www.facebook.com/groups/JHighSchoolBiology
https://www.facebook.com/groups/JHighSchoolEnglish